Prima di tutto, diamo un'occhiata ad alcune nozioni del calcolo differenziale e multivariabile di cui avremo bisogno per sviluppare la nostra teoria.
In questa sezione diamo una rapida occhiata ai risultati sulla derivabilità per funzioni reali in più variabili;
considereremo quindi funzioni del tipo
Fissato
Al variare di
nel caso in cui queste funzioni siano tutte definite e continue su
L'insieme delle funzioni di classe
La sola esistenza delle derivate parziali è una proprietà troppo debole per la maggior parte degli scopi. Ad esempio, la funzione definita su
L'estensione naturale della derivabilità per funzioni di una variabile a funzioni di più variabili è la seguente.
Se
Va precisato che il termine "differenziabile" avrà più avanti una connotazione più informale, per indicare la continua differenziabilità di qualche ordine, principalmente di classe
Le proprietà principali delle funzioni differenziabili sono espresse nella seguente proposizione:
Sia
Sia
Si hanno i seguenti fatti:
L'applicazione indicata nel terzo punto è detta differenziale di
Si ha anche un'altra proposizione che fornisce invece una condizione sufficiente per la differenziabilità:
Sia
Sia
si supponga che le derivate parziali
Allora,
Quindi, una funzione
Fatto questo, si può definire anche la classe
l'insieme delle funzioni di classe
l'insieme delle funzioni di classe
Di fondamentale importanza nel calcolo differenziale e multivariabile sono i seguenti due teoremi.
Sia
Sia
Per ogni
Sia
Sia
In ogni punto di
in altri termini, se
Generalizziamo ora le idee finora indicate al caso di funzioni vettoriali, ossia definite su sottoinsiemi di
Data una funzione vettoriale
Infatti, per ogni
viceversa, qualsiasi insieme di
Detto ciò, considereremo quindi funzioni del tipo
Intanto, dalla topologia generale sappiamo che
Alla luce di questo fatto, diciamo che
Come per le funzioni, le funzioni
Nei punti in cui
Per semplicità, anziché la notazione indicata useremo principalmente
Se
non per forza sono continue su
Notiamo quindi che
Un risultato sulla differenziabilità che segue immediatamente dalla definizione e dalla Proposizione 1.1.3 è il seguente:
Sia
Sia
Inoltre, in tal caso, la matrice
Di fondamentale importanza è capire come si comporta la differenziabilità di funzioni rispetto alla composizione.
Intanto, siano
supponendo che valga
Possiamo scrivere le funzioni coordinate di
Il risultato che lega la differenziabilità di
Siano
Siano
Si supponga che
La funzione composta
Questo teorema permette anche di dimostrare il seguente
Siano
Siano
Si supponga che
La funzione composta
Siano
Una funzione
Ci soffermeremo esclusivamente sul caso
Nota: Il motivo per cui richiediamo che sia
Difatti, la differenziabilità di
Se ad esempio si considera
Consideriamo due esempi di diffeomorfismi da
Sia
inoltre,
Quindi,
Sia
semplici calcoli mostrano che
Se
D'altra parte, se
Ne viene che
Indichiamo adesso una conseguenza notevole della regola della catena.
Siano
sia
Vale
inoltre, per ogni
Dimostrazione
Abbiamo
Similmente, avendosi
Da queste due uguaglianze deduciamo che
Quindi, due sottoinsiemi aperti di
Sulle funzioni lisce abbiamo dei risultati cruciali, che ci dicono essenzialmente che il comportamento locale di una funzione liscia è modellato dal comportamento della sua derivata totale.
Siano
sia
Sia
Esiste allora un intorno
Questo è uno dei teoremi fondamentali dell'analisi ordinaria;
esso presenta conseguenze di una certa importanza, come mostra il seguente
Sia
sia
Si hanno i seguenti fatti: