1.1 - Preliminari di Calcolo Differenziale

Prima di tutto, diamo un'occhiata ad alcune nozioni del calcolo differenziale e multivariabile di cui avremo bisogno per sviluppare la nostra teoria.

Derivabilità per funzioni reali in più variabili
...

In questa sezione diamo una rapida occhiata ai risultati sulla derivabilità per funzioni reali in più variabili;
considereremo quindi funzioni del tipo , con aperto.

Definizione 1.1.1 (Derivata parziale).

Fissato , si definisce la derivata parziale di rispetto a in , e si denota con il seguente limite, se esiste ed è finito:

Al variare di , se è definita in ogni punto di , essa definisce una funzione su , precisamente di legge ;

nel caso in cui queste funzioni siano tutte definite e continue su , la funzione si dice continuamente differenziabile su , oppure di classe su .

L'insieme delle funzioni di classe su si denota con .

La sola esistenza delle derivate parziali è una proprietà troppo debole per la maggior parte degli scopi. Ad esempio, la funzione definita su da non è continua in , sebbene entrambe le derivate siano definite lì.

L'estensione naturale della derivabilità per funzioni di una variabile a funzioni di più variabili è la seguente.

Definizione 1.1.2 (Differenziabilità).

si dice differenziabile in quando esiste un'applicazione lineare tale che

Se è differenziabile per ogni , diciamo che è differenziabile su .

Va precisato che il termine "differenziabile" avrà più avanti una connotazione più informale, per indicare la continua differenziabilità di qualche ordine, principalmente di classe .

Le proprietà principali delle funzioni differenziabili sono espresse nella seguente proposizione:

Proposizione 1.1.3 (Proprietà della differenziabilità).

Sia aperto.
Sia una funzione differenziabile in .

Si hanno i seguenti fatti:

è continua in ;
Sono definite tutte le derivate parziali ;
L'applicazione è unica, ed è data dalla legge
.

L'applicazione indicata nel terzo punto è detta differenziale di in , e si denota con , o semplicemente qualora non vi siano equivoci sul punto interessato.

Si ha anche un'altra proposizione che fornisce invece una condizione sufficiente per la differenziabilità:

Proposizione 1.1.4 (Teorema del differenziale totale).

Sia aperto, e sia .

Sia una funzione;
si supponga che le derivate parziali siano definite in un intorno di , e siano continue in .

Allora, è differenziabile in .

Quindi, una funzione di classe con aperto, è anche differenziabile in tutto .

Fatto questo, si può definire anche la classe su un insieme aperto , per ogni e anche per :

Definizione 1.1.5 (Classe

si dice di classe , con , quando le sue derivate parziali sono di classe ;
l'insieme delle funzioni di classe su si denota con .

si dice di classe , oppure liscia, quando è di classe per ogni ;
l'insieme delle funzioni di classe su si denota con .

I teoremi di Lagrange e di Schwarz
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Di fondamentale importanza nel calcolo differenziale e multivariabile sono i seguenti due teoremi.

Teorema 1.1.6 (Di Lagrange).

Sia aperto e stellato rispetto a un certo punto .
Sia una funzione differenziabile su .

Per ogni , esiste tale che

Teorema 1.1.7 (Di Schwarz).

Sia aperto.
Sia di classe su .

In ogni punto di il valore delle derivate di ordine , con , è indipendente dell'ordine di differenziazione;
in altri termini, se è una permutazione di , allora

Differenziabilità di funzioni vettoriali e matrici Jacobiane
...

Generalizziamo ora le idee finora indicate al caso di funzioni vettoriali, ossia definite su sottoinsiemi di ma aventi codominio invece che semplicemente .

Data una funzione vettoriale , con , e posta la proiezione sulla -esima coordinata, cioè , allora è univocamente determinata dalle sue funzioni coordinate .

Infatti, per ogni si ha

viceversa, qualsiasi insieme di funzioni su a valori in individua la funzione vettoriale definita con la stessa legge di sopra.

Detto ciò, considereremo quindi funzioni del tipo , con aperto.

Intanto, dalla topologia generale sappiamo che è continua se e solo se sono tali tutte le sue funzioni coordinate.

Alla luce di questo fatto, diciamo che è differenziabile / di classe / di classe in un punto / su quando ciascuna delle sue funzioni coordinate ha la proprietà corrispondente.
Come per le funzioni, le funzioni verranno dette anche regolari o lisce.

Nei punti in cui è differenziabile, risulta ben definita la matrice data da
che prende il nome di matrice Jacobiana.

Per semplicità, anziché la notazione indicata useremo principalmente per denotare la matrice Jacobiana di , e per denotarne la valutazione in .

Se è differenziabile su tutto , le sue entrate sono funzioni su .
non per forza sono continue su ; lo sono se e solo se è di classe .

Notiamo quindi che se e solo se l'associazione è continua, avendo identificato come lo spazio topologico .

Un risultato sulla differenziabilità che segue immediatamente dalla definizione e dalla ^11a53b Proposizione 1.1.3 è il seguente:

Proposizione 1.1.8 (Caratterizzazione della differenziabilità delle funzioni).

Sia aperto.
Sia una funzione.

è differenziabile in se e solo se esiste una matrice tale che
dove "" indica il prodotto matriciale, e si assume che gli elementi in e si scrivano come vettori colonna.

Inoltre, in tal caso, la matrice è unica e coincide con .

La regola della catena
...

Di fondamentale importanza è capire come si comporta la differenziabilità di funzioni rispetto alla composizione.

Intanto, siano e , e si considerino le due funzioni e ;
supponendo che valga risulta ben definita da in la composizione .

Possiamo scrivere le funzioni coordinate di in termini di quelle di e :

Il risultato che lega la differenziabilità di alla differenziabilità di e , è dato dal seguente

Teorema 1.1.9 (Regola della catena).

Siano e aperti.
Siano e due funzioni, e si assuma .

Si supponga che sia differenziabile in , e che sia differenziabile in .

La funzione composta è differenziabile in , e vale
dove "" denota il prodotto matriciale.

Questo teorema permette anche di dimostrare il seguente

Corollario 1.1.10 (Le classi

sono chiuse rispetto alla composizione).

Siano e aperti.

Siano e due funzioni, e si assuma .

Si supponga che e siano di classe nel loro dominio, con o .

La funzione composta è anch'essa di classe su .

Diffeomorfismi; il teorema della funzione inversa
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Definizione 1.1.11 (Diffeomorfismo).

Siano e insiemi aperti.

Una funzione si dice diffeomorfismo di classe (o semplicemente -diffeomorfismo) quando:

è un omeomorfismo;
Sia che sono di classe .

Ci soffermeremo esclusivamente sul caso , per cui utilizziamo semplicemente il termine diffeomorfismo.

Nota: Il motivo per cui richiediamo che sia che siano di classe , è perché desideriamo che la relazione di diffeomorfismo tra sottoinsiemi aperti di sia simmetrica (cioè il fatto che sia un -diffeomorfismo implichi che sia anch'essa un -diffeomorfismo).

Difatti, la differenziabilità di non è una conseguenza di quella di , anche quando è un omeomorfismo.

Se ad esempio si considera , questa funzione è un omeomorfismo tra e sé stesso, di classe , ma la funzione inversa non è nemmeno di classe sul dominio poiché non è derivabile per .

Consideriamo due esempi di diffeomorfismi da a .

Esempio 1.1.12 (Le traslazioni sono diffeomorfismi).

Sia una traslazione, dunque con una legge del tipo
Le funzioni coordinate sono di classe , dunque è tale;
inoltre, è invertibile, e la sua inversa è anch'essa una traslazione (che nello specifico ha legge ), è quindi anch'essa .

Quindi, è un diffeomorfismo.

Esempio 1.1.13 (Applicazioni lineari che sono diffeomorfismi).

Sia una trasformazione lineare (che dunque è di classe ), la cui legge si può quindi scrivere come
dove si scrive come una matrice colonna e è una matrice ;
semplici calcoli mostrano che per ogni .

Se , allora è invertibile e la funzione definita ponendo è esattamente l'inversa di , che quindi è anch'essa di classe .

D'altra parte, se , allora non è iniettiva.

Ne viene che è un diffeomorfismo se e solo se è non singolare.

Indichiamo adesso una conseguenza notevole della regola della catena.

Proposizione 1.1.14 (Invarianza della dimensione e Jacobiana per diffeomorfismi).

Siano e sottoinsiemi aperti;
sia sia un diffeomorfismo.

Vale ;
inoltre, per ogni , la Jacobiana è invertibile, con .

Dimostrazione
Abbiamo da cui segue, per la regola della catena, che vale
per ogni .

Similmente, avendosi troviamo anche che per ogni .

Da queste due uguaglianze deduciamo che è una matrice quadrata invertibile con inversa (in quanto le applicazioni lineari associate a queste due matrici sono una l'inversa dell'altra), da cui segue quindi che .

Quindi, due sottoinsiemi aperti di e rispettivamente non possono essere diffeomorfi, se .

Sulle funzioni lisce abbiamo dei risultati cruciali, che ci dicono essenzialmente che il comportamento locale di una funzione liscia è modellato dal comportamento della sua derivata totale.

Teorema 1.1.15 (Della funzione inversa).

Siano e siano sottoinsiemi aperti di ;
sia una funzione di classe .

Sia tale che sia invertibile.

Esiste allora un intorno di tale che sia aperto, e sia un diffeomorfismo.

Questo è uno dei teoremi fondamentali dell'analisi ordinaria;
esso presenta conseguenze di una certa importanza, come mostra il seguente

Corollario 1.1.16 (Al teorema della funzione inversa).

Sia aperto;
sia una funzione di classe .

Si hanno i seguenti fatti:

Se la Jacobiana è invertibile in ogni punto di , allora è una funzione aperta (cioè manda e i suoi aperti in aperti di );
Condizione necessaria e sufficiente affinché sia un diffeomorfismo tra e è che essa sia iniettiva e sia non singolare in ogni punto di .

Derivabilità per funzioni reali in più variabili...

I teoremi di Lagrange e di Schwarz...

Differenziabilità di funzioni vettoriali e matrici Jacobiane...